留学机构的审批部门主要包括 省、自治区、直辖市教育行政部门和 教育部。具体审批流程如下：

向省、自治区、直辖市教育行政部门提出申请：

申办者需要向所在地的省、自治区、直辖市教育行政部门提交申请，并填写《自费出国留学中介服务机构资格申请表》，同时提交相关的规定的材料。

审核与上报：

教育行政部门在收到申请后，进行审核并同意申请后，将《自费出国留学中介服务机构资格申请表》及其所附材料和证明报送到教育部进行审批。

教育部审批：

教育部根据相关法规程序进行行政许可决定，并通过教育行政部门将决定送达申请人。

其他手续：

通过资格认定的机构还需要到当地工商行政管理部门办理企业登记注册手续，并且到机构所在地的公安机关出入境管理部门备案。

综上所述，留学机构的审批主要由省、自治区、直辖市教育行政部门和教育部负责，并需要经过严格的审核和一系列的后续手续才能合法运营。建议在考虑留学中介服务时，选择经过正式审批、有良好口碑的机构。