留学机构的管理涉及多个部门，具体如下：

教育部及其下属机构

教育部留学服务中心：这是教育部直属事业单位，提供出国留学、留学回国、来华留学以及教育国际交流与合作等相关服务。

国家留学基金管理委员会：该委员会是直属于教育部的非盈利性事业法人单位，负责中国公民出国留学和外国公民来华留学的组织、资助、管理。

地方相关部门

地方工商部门：负责留学机构的注册和日常监管，确保其合法经营。

地方教育部门：部分省份由地方教育部门审批和管理留学机构。

大使馆教育处

国外大使馆教育处：虽然大使馆教育处主要负责国外的教育事务，但它们也与国内教育部保持密切联系，并在留学事务中起到支持作用。

综上所述，留学机构主要受到教育部及其下属的留学服务中心和国家留学基金管理委员会的管理，同时需要接受地方工商部门和地方教育部门的监管。建议选择正规的大平台，以确保留学服务的质量和合法性。