留学机构的管理主要归 教育部及其下属机构负责。具体来说，教育部留学服务中心和国家留学基金管理委员会是主要负责部门。教育部留学服务中心是教育部直属事业单位，提供出国留学、留学回国、来华留学以及教育国际交流与合作等相关服务。国家留学基金管理委员会则是直属于教育部的非盈利性事业法人单位，负责中国公民出国留学和外国公民来华留学的组织、资助、管理。

此外，留学中介的资质审批和报备也归教育部管，教育部涉外监管信息网可以查看留学公司资质。留学服务行业的监管还涉及公安部和国家工商管理总局，部分省份的留学中介审批和管理则由省级相关部门负责。

综上所述，留学机构的管理主要归教育部及其下属的留学服务中心和国家留学基金管理委员会负责，同时公安部和国家工商管理总局也参与留学中介的资质审批和监管。