许沁留学的原因主要有以下几点：

家庭背景：

许沁是养女，她的养母为了她的未来，不惜一切代价送她出国留学学医深造。养母希望她能够通过留学获得更好的教育和前程。

恋爱因素：

许沁与宋焰的恋爱关系被养母发现后，养母对宋焰贫穷的家世不满，因此逼迫许沁分手。为了断绝这段关系，养母最终决定送许沁出国。

个人成长：

养母送许沁出国，一方面是为了让她成长，另一方面也是为了她能有更好的前程。留学不仅是学术上的提升，也是个人独立和成长的重要经历。

综上所述，许沁留学的原因是多方面的，包括家庭背景、恋爱关系以及个人成长的需求。养母的决策虽然出于对女儿未来的考虑，但也带来了不少争议和心酸。