胡适选择出国留学的原因是多方面的，主要包括以下几点：

寻求知识：

胡适在20世纪初的中国，面对国家的政治、经济、文化等多方面的困境，希望通过留学来探索救国的道路，获取新的知识和思想。

政治影响：

胡适在美国留学期间，深受民主政治的影响，支持推翻封建统治，建立民主政治。

家庭原因：

胡适孝顺，他的母亲冯顺弟希望他能够去美国留学，以便对远方的儿子有所牵绊。

政治使命：

蒋介石希望胡适去美国可以起到文人的作用，帮助美国进一步支持蒋介石，尽管胡适对此持怀疑态度，但最终还是在美国停留了一段时间。

个人发展：

胡适在康奈尔大学开始了他的留学生涯，并在那里接触到了更广泛的知识和文化，对他的个人发展产生了深远的影响。

改善家庭经济状况：

胡适出生于一个贫苦家庭，留学可以获取知识和技能，从而改变自己和家人的命运。

追求学术成就：

胡适对西方文化和教育充满兴趣，希望通过出国学习深入了解西方的学术体系和思想。

探索救国之路：

胡适留学同样怀揣着探索救国之路的目标，希望通过学习西方的长处来补己国之短。

庚子赔款奖学金：

胡适是第二批庚款留学生，这也是他能够出国留学的一个重要原因。

个人兴趣与专业选择：

尽管最初进入农学院是出于经济考虑（免学费），但胡适对文学有深厚的兴趣，最终决定转到文学系，并在哥伦比亚大学继续学习哲学。

综合以上几点，可以看出胡适出国留学的原因是多方面的，既有对个人发展和学术成就的追求，也有对家庭的责任感以及政治使命的考量。这些因素共同促使他踏上了留学的道路，并在美国期间取得了显著的成就，对中国现代思想和文化产生了深远的影响。