十字相乘法是一种用于因式分解二次三项式的方法，其核心思想是通过交叉相乘的方式将二次三项式分解为两个一次因式的乘积。具体来说，对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次三项式，如果存在整数 $p, q, r, s$ 使得：

1. $a = p \cdot q$

2. $c = r \cdot s$

3. $pr + qs = b$

则可以将原式分解为 $（px + r）（qx + s）$。

具体步骤

分解系数：

将二次项系数 $a$ 分解为两个因数 $p$ 和 $q$，常数项 $c$ 分解为两个因数 $r$ 和 $s$，即 $a = p \cdot q$ 和 $c = r \cdot s$。

交叉相乘：

构造十字交叉表：

$$

\begin{array}{c|cc}

& px & r \\

\hline

q & pq & rs \\

\end{array}

$$

交叉相乘后相加，得到 $pr + qs = b$。

验证与分解：

若等式成立，则原式可分解为 $（px + r）（qx + s）$。

示例

分解因式 $6x^2 + 5x - 6$：

1. 分解系数：$a = 6 = 2 \cdot 3$，$c = -6 = -2 \cdot 3$。

2. 交叉相乘：构造表：

$$

\begin{array}{c|cc}

& 2x & -2 \\

\hline

3 & 6x & -6 \\

\end{array}

$$

验证：$2 \cdot （-2） + 3 \cdot 6 = -4 + 18 = 5$，满足条件。

3. 分解结果：$（2x - 2）（3x + 3）$，可进一步化简为 $（x - 1）（2x + 3）$。

注意事项

该方法仅适用于二次三项式，且系数需满足特定条件（如整数分解、交叉项匹配）。

实际应用中需结合试错法，尝试不同因数分解组合。

通过以上步骤，十字相乘法能够高效地完成二次三项式的因式分解，是中学数学中的重要技能。