留学机构转学负责的主要是 教学事务的管理和招生标准的制定与监督实施。具体来说，留学机构在处理转学事宜时，会建立独立的招生委员会，负责制定招生标准，并监督实施。同时，留学机构还会按照本校的标准考核评价申请转入的学生，并向社会公布详细的接收转入的理由，而不仅仅是执行行政规定。

此外，对于大学生转学，具体的负责部门可能包括学校的招生与教务部门或学生处。招生与教务部门主要负责大学生入学、毕业及中途转学等相关事宜，而学生处则负责学生管理工作，包括提交转学申请材料等。

因此，无论是同一学校内部间的转学还是不同学校之间的转学，留学机构的主要责任部门都是负责教学事务管理的机构或招生与教务部门，他们需要按照教学标准和招生政策来处理转学事宜，并确保转学的透明度和公正性。