留学线性代数考试内容通常涵盖线性代数的基础理论、核心算法及应用，具体要求因学科领域不同而有所侧重。以下是综合多个来源的核心内容梳理：

一、基础理论（核心概念）

向量与向量空间

- 向量的定义、几何意义及代数表示（行/列向量）

- 向量运算：加法、减法、数乘、点积（内积）及范数

- 向量组的线性相关性、极大线性无关组及基与坐标表示

矩阵与矩阵运算

- 矩阵的定义、运算（加法、乘法、转置）及特殊类型（单位矩阵、对称矩阵）

- 矩阵的行列式、逆矩阵及伴随矩阵

- 矩阵分解：LU分解、QR分解等基础方法

线性方程组

- 行程式组的形式与解法（高斯消元法、逆矩阵法）

- 齐次与非齐次方程组的解的结构

二、进阶内容（算法与理论）

特征值与特征向量

- 特征方程的求解及特征向量的计算

- 对角化、相似矩阵及谱定理

内积空间与正交性

- 内积空间的定义、正交向量组及Gram-Schmidt正交化方法

- 勾股定理在向量空间中的推广

二次型与矩阵合同

- 二次型的标准形及正定矩阵的判定

- 矩阵合同的定义及应用

三、应用方向（补充内容）

线性代数在计算机科学中的应用：

数据结构（如稀疏矩阵）、算法优化（如动态规划）

经济学与工程学应用：投入产出分析、结构力学、控制系统设计

四、考试重点与题型

高频考点

- 行列式与矩阵运算（30%）

- 线性方程组与向量组（30%）

- 特征值与特征向量（20%）

- 线性变换与内积空间（10%）

典型题型

- 计算类：矩阵乘法、行列式计算、高斯消元法步骤

- 证明类：向量组线性相关性、矩阵可逆性证明

- 应用类：物理中的量子力学模型、经济学中的投入产出分析

五、备考建议

教材选择：

使用同济大学《线性代数》（第4版）等权威教材

强化训练：通过8套模拟试题（含考研真题）进行总复习

理论结合：注重代数概念的理解，多做证明题和综合应用题

以上内容综合了数学、物理、计算机等领域的线性代数要求，建议根据具体留学方向（如商科、工科、理学）调整复习重点。